מחשבון משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית מתקיים a² + b² = c², כאשר c הוא היתר — הצלע שמול הזווית הישרה. המחשבון מוצא את היתר משני הניצבים, או ניצב חסר מהיתר ומניצב ידוע.

זהו כנראה המשפט השימושי ביותר בבנייה: בלעדיו אין דרך פשוטה לוודא שפינה היא בדיוק 90°.

איך עובד משפט פיתגורס

המשפט קובע שבמשולש ישר־זווית, סכום ריבועי שני הניצבים שווה לריבוע היתר. הניצבים הם שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע שמולה — תמיד הארוכה מהשלוש.

למצוא את היתר: c = השורש של (a² + b²). למצוא ניצב חסר: b = השורש של (c² − a²).

במקרה השני קיימת מגבלה — היתר חייב להיות ארוך מהניצב. אם מזינים ניצב ארוך מהיתר, הביטוי מתחת לשורש שלילי ואין פתרון. המחשבון מתריע על כך במקום להחזיר שגיאה.

המחשבון מחזיר גם שטח (מכפלת הניצבים חלקי 2) והיקף, כך שאין צורך בחישוב נפרד.

שימוש מעשי חשוב — שיטת 3־4־5: מסמנים 3 יחידות על קו אחד, 4 על הקו הניצב, ואם המרחק בין הסימונים הוא בדיוק 5, הפינה היא 90°. זו הדרך שבה בודקים ריבועיות של יציקה, קיר או מרפסת בלי מכשור, ואפשר להגדיל את היחס ל-30־40־50 ס"מ לדיוק טוב יותר.

שלשות פיתגוריות

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים שמקיימים את המשפט. הן שימושיות בבנייה כי אין בהן שברים:

כל כפולה של שלשה היא גם שלשה: 6־8־10, 9־12־15, 10־24־26. לכן בבדיקת פינה אפשר להשתמש ביחידות נוחות לשטח — 60, 80 ו-100 ס"מ עובדים בדיוק כמו 3, 4 ו-5.

מתי המשפט לא חל

המשפט נכון רק במשולש ישר־זווית. במשולש אחר צריך את משפט הקוסינוסים: c² = a² + b² − 2ab × cos(γ). כאשר γ שווה ל-90°, הקוסינוס הוא 0 והנוסחה מצטמצמת חזרה לפיתגורס.

ההיפך נכון גם הוא ושימושי במיוחד: אם שלוש צלעות מקיימות a² + b² = c², אז המשולש בהכרח ישר־זווית. זה מה שהופך את שיטת 3־4־5 לבדיקה אמינה ולא רק לקירוב. לחישוב שטח של משולש שאינו ישר־זווית יש באתר מחשבון משולש לפי נוסחת הרון.

שאלות נפוצות