המחשבון מקבל שלוש צלעות ומחזיר שטח לפי נוסחת הרון, היקף, ובדיקה אם המשולש ישר־זווית.
היתרון בנוסחת הרון הוא שאין צורך בגובה ולא בזוויות — שלושה אורכים מודדים בשטח מספיקים.
נוסחת הרון ובדיקת המשולש
השיטה הרגילה לשטח משולש היא בסיס כפול גובה חלקי 2, אבל בשטח קל למדוד צלעות וקשה למדוד גובה. נוסחת הרון פותרת זאת.
תחילה מחשבים את חצי ההיקף: s = (a + b + c) ÷ 2. לאחר מכן שטח = השורש של s × (s−a) × (s−b) × (s−c).
לפני החישוב המחשבון בודק את אי־שוויון המשולש: סכום כל שתי צלעות חייב להיות גדול מהשלישית. אם התנאי לא מתקיים, שלושת האורכים אינם יכולים להיסגר למשולש כלל, והמחשבון מתריע במקום להחזיר תוצאה חסרת משמעות.
בנוסף נבדק אם המשולש ישר־זווית, לפי משפט פיתגורס: אם סכום הריבועים של שתי הצלעות הקצרות שווה לריבוע הארוכה, יש זווית של 90°. המחשבון מאפשר סבילות קטנה כדי שמידות מעשיות, שאינן מדויקות לחלוטין, יזוהו נכון.
השימוש הנפוץ בישראל הוא חישוב שטח של חלקה משולשת, גג רעפים או מפרש צל — בכל אלה מודדים שלוש צלעות ומקבלים שטח בלי מדידת גבהים.
דוגמה – משולש 3, 4, 5
- צלעות a = 3, b = 4, c = 5
- היקף: 3 + 4 + 5 = 12, ולכן s = 6
- שטח: השורש של 6 × 3 × 2 × 1 = שורש 36 = 6
- ישר־זווית: כן — 9 + 16 = 25, בדיוק 5 בריבוע
- אימות: במשולש ישר־זווית השטח הוא גם 3 × 4 ÷ 2 = 6. אותה תוצאה בשתי דרכים
אי־שוויון המשולש
שלושה אורכים נסגרים למשולש רק אם סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית. מספיק לבדוק את שתי הקצרות מול הארוכה.
| צלעות | הבדיקה | התוצאה |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 3 + 4 = 7 > 5 | משולש תקין |
| 2, 3, 10 | 2 + 3 = 5 < 10 | לא נסגר |
| 5, 5, 10 | 5 + 5 = 10, לא גדול | מתיישר לקו, שטח 0 |
המקרה השלישי מעניין: הצלעות נפגשות בדיוק, אבל המשולש "שטוח" ושטחו אפס. נוסחת הרון מחזירה שם 0 מעצמה, כי אחד הגורמים מתאפס.
סוגי משולשים לפי הצלעות
- שווה־צלעות: שלוש צלעות שוות, כל הזוויות 60°. השטח הוא s² × שורש 3 ÷ 4.
- שווה־שוקיים: שתי צלעות שוות, והזוויות שמול השוקיים שוות.
- ישר־זווית: מקיים a² + b² = c². השטח הוא פשוט מכפלת הניצבים חלקי 2. לחישוב ממוקד יש באתר מחשבון פיתגורס.
- קהה־זווית: ריבוע הצלע הארוכה גדול מסכום ריבועי השתיים האחרות.
שאלות נפוצות
איך מחשבים שטח משולש בלי גובה?
בנוסחת הרון: מחשבים את חצי ההיקף s, ואז לוקחים את השורש של s × (s−a) × (s−b) × (s−c). דרושים רק שלושת אורכי הצלעות.
למה המחשבון מתריע שהצלעות לא יוצרות משולש?
כי לא מתקיים אי־שוויון המשולש — סכום שתי צלעות אינו גדול מהשלישית. בצלעות 2, 3 ו-10 אין דרך לסגור משולש, ולכן אין שטח לחשב.
איך יודעים אם משולש ישר־זווית?
בודקים אם סכום ריבועי שתי הצלעות הקצרות שווה לריבוע הארוכה. ב-3, 4, 5 מתקיים 9 + 16 = 25, ולכן כן.
מה שטח משולש שווה־צלעות?
הצלע בריבוע כפול שורש 3 חלקי 4. בצלע 6 השטח הוא 36 × 1.732 ÷ 4, כלומר כ-15.59.
מה המשמעות של שטח אפס?
שלושת האורכים מתיישרים לקו אחד, מקרה שבו סכום שתי צלעות שווה בדיוק לשלישית. כזה "משולש" מנוון ואין לו שטח.