בנפילה חופשית, המהירות אחרי נפילה מגובה h היא v = √(2gh), הגובה ממהירות הוא h = v² / (2g), והזמן הוא t = v / g.
המחשבון מאפשר למצוא כל אחד מהשלושה מהשניים האחרים, בתאוצת כבידה שאפשר לשנות.
נוסחאות הנפילה החופשית
בנפילה חופשית ללא התנגדות אוויר, הגוף מואץ בתאוצה קבועה g. על פני כדור הארץ g הוא כ-9.81 מטר לשנייה בריבוע.
מהירות מגובה: v = √(2gh). שימו לב — התלות היא בשורש הגובה, ולכן נפילה מגובה כפול אינה נותנת מהירות כפולה אלא רק פי 1.41.
גובה ממהירות: h = v² / (2g). זו הנוסחה ההפוכה, והיא שימושית לחישוב באיזה גובה נדרש להיות כדי להגיע למהירות נתונה.
זמן עד למהירות: t = v / g. הזמן לנפילה מגובה h הוא √(2h/g).
עובדה שאינה אינטואיטיבית: המסה אינה מופיעה באף אחת מהנוסחאות. נוצה וכדור ברזל נופלים באותה תאוצה בוואקום, וגלילאו הדגים זאת. בפועל ההבדל נובע כולו מהתנגדות האוויר.
דוגמה – נפילה מגובה 10 מטר
- גובה h = 10 מטר, g = 9.81
- מהירות פגיעה: √(2 × 9.81 × 10) = 14.01 מ׳/ש
- כלומר כ-50.4 קמ"ש — מגובה של בית בן שלוש קומות
- זמן נפילה: √(2 × 10 ÷ 9.81) = 1.43 שניות
- מגובה 20 מטר המהירות היא 19.81 מ׳/ש — פי 1.41 בלבד, לא פי שניים
טבלת נפילה
| גובה | זמן | מהירות פגיעה | בקמ"ש |
|---|---|---|---|
| 1 מ׳ | 0.45 שנ׳ | 4.43 מ׳/ש | 15.9 |
| 5 מ׳ | 1.01 שנ׳ | 9.90 מ׳/ש | 35.6 |
| 10 מ׳ | 1.43 שנ׳ | 14.01 מ׳/ש | 50.4 |
| 20 מ׳ | 2.02 שנ׳ | 19.81 מ׳/ש | 71.3 |
| 50 מ׳ | 3.19 שנ׳ | 31.32 מ׳/ש | 112.8 |
| 100 מ׳ | 4.52 שנ׳ | 44.29 מ׳/ש | 159.4 |
שימו לב לקצב הגידול: בין 10 ל-100 מטר — פי עשרה בגובה — המהירות גדלה רק פי 3.16, שהוא שורש 10. זו המשמעות המעשית של התלות בשורש.
מה הנוסחאות מתעלמות ממנו
המחשבון מתאר נפילה חופשית אידיאלית, בלי התנגדות אוויר. בפועל האוויר מפעיל כוח גרר שגדל עם המהירות, עד שהוא משתווה לכוח הכבידה והגוף מפסיק להאיץ.
המהירות הזו נקראת מהירות סופית (terminal velocity), והיא תלויה במסה, בשטח החתך ובצורת הגוף. לאדם בנפילה חופשית במצב פרקדן היא בסביבות 200 קמ"ש, ובמצב "צלילה" ראש קדימה גבוהה בהרבה.
מתי הקירוב תקף: בנפילות קצרות, של מטרים בודדים, התנגדות האוויר עדיין זניחה והנוסחאות מדויקות למעשה. בנפילות ארוכות הן נותנות מהירות גבוהה מהמהירות האמיתית.
נקודה נוספת: g עצמו אינו קבוע לחלוטין על פני כדור הארץ. הוא כ-9.78 בקו המשווה וכ-9.83 בקטבים, בגלל הסיבוב והצורה של הכוכב. הערך התקני 9.80665 הוא ממוצע. על הירח g הוא כ-1.62, ולכן אותה נפילה שם אטית פי 2.46.
שאלות נפוצות
מה המהירות אחרי נפילה מגובה 10 מטר?
כ-14 מטר לשנייה, שהם כ-50 קמ"ש, לפי v = √(2gh) ובהתעלמות מהתנגדות האוויר.
האם גוף כבד נופל מהר יותר?
לא בוואקום — המסה אינה מופיעה בנוסחאות כלל. באוויר גוף כבד וצר נופל מהר יותר, אבל זה בגלל יחס גרר למסה ולא בגלל המשקל עצמו.
כמה זמן לוקחת נפילה מגובה נתון?
השורש של פעמיים הגובה חלקי g. מגובה 10 מטר זה כ-1.43 שניות, ומגובה 100 מטר כ-4.52 שניות.
למה נפילה מגובה כפול לא נותנת מהירות כפולה?
מפני שהמהירות תלויה בשורש הגובה. גובה פי שניים נותן מהירות פי 1.41, וגובה פי עשרה נותן מהירות פי 3.16.
מה זה מהירות סופית?
המהירות שבה כוח הגרר של האוויר משתווה לכוח הכבידה והגוף מפסיק להאיץ. היא תלויה במסה, בשטח החתך ובצורה, ולאדם בנפילה חופשית היא בסביבות 200 קמ"ש. המחשבון אינו מתחשב בה.