שטח מצולע סדיר מחושב ממספר הצלעות ואורך הצלע: n × s² ÷ (4 × tan(π/n)). המחשבון מחזיר שטח, היקף ורדיוס חוץ.
מצולע סדיר הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות — משולש שווה־צלעות, ריבוע, מחומש, משושה וכן הלאה.
איך מחשבים שטח מצולע סדיר
הדרך להבין את הנוסחה היא לחלק את המצולע מהמרכז ל-n משולשים זהים. כל משולש כזה הוא שווה־שוקיים, בסיסו הוא צלע אחת (s) וגובהו הוא המרחק מהמרכז לאמצע הצלע — המרחק הזה נקרא אפותמה.
שטח כל משולש הוא s × אפותמה ÷ 2, ולכן שטח המצולע הוא n פעמים זה. מכיוון שהאפותמה שווה ל-s ÷ (2 × tan(π/n)), מתקבלת הנוסחה שטח = n × s² ÷ (4 × tan(π/n)).
היקף = n × s — פשוט מספר הצלעות כפול אורך הצלע.
רדיוס חוץ = s ÷ (2 × sin(π/n)). זה המרחק מהמרכז אל קודקוד, כלומר רדיוס המעגל החוסם שעובר דרך כל הקודקודים. אין לבלבל אותו עם האפותמה, שהיא המרחק אל אמצע הצלע וקצרה ממנו.
תכונה שכדאי להכיר: ככל ש-n גדל, המצולע הסדיר מתקרב לעיגול. במצולע בן 100 צלעות השטח כבר קרוב מאוד ל-π × r². זה בדיוק הרעיון שארכימדס השתמש בו כדי לחשב קירוב ל-π.
דוגמה – משושה סדיר בצלע 5
- n = 6 צלעות, אורך צלע s = 5
- היקף: 6 × 5 = 30
- שטח: 6 × 25 ÷ (4 × tan(30°)) = 150 ÷ 2.3094 = 64.9519
- רדיוס חוץ: 5 ÷ (2 × sin(30°)) = 5 ÷ 1 = 5
- במשושה הרדיוס החוץ שווה בדיוק לאורך הצלע — תכונה ייחודית למשושה, ולכן הוא מתלכד לכוורת מושלמת
שטח לפי מספר הצלעות, בצלע באורך 1
הטבלה מראה כיצד השטח גדל כשמוסיפים צלעות, באורך צלע קבוע של 1:
| צלעות | הצורה | שטח |
|---|---|---|
| 3 | משולש שווה־צלעות | 0.4330 |
| 4 | ריבוע | 1.0000 |
| 5 | מחומש | 1.7205 |
| 6 | משושה | 2.5981 |
| 8 | מתומן | 4.8284 |
| 12 | תרסר־צלעות | 11.1962 |
שימו לב שהשטח גדל אף שאורך הצלע נשאר 1 — כי ההיקף גדל יחד עם מספר הצלעות. השוואה הוגנת יותר היא בהיקף קבוע, ואז מתברר שככל שיש יותר צלעות השטח גדול יותר, והעיגול הוא הגבול.
אפותמה מול רדיוס חוץ
לשני המרחקים האלה מהמרכז יש תפקידים שונים, ובלבול ביניהם הוא טעות נפוצה:
- רדיוס חוץ (R): מהמרכז אל קודקוד. זה המספר שהמחשבון מחזיר, והוא רדיוס המעגל החוסם.
- אפותמה (a): מהמרכז אל אמצע צלע. זה רדיוס המעגל החסום, והוא קצר מ-R.
הקשר ביניהם: a = R × cos(π/n). במשושה בצלע 5, הרדיוס החוץ הוא 5 והאפותמה היא כ-4.33. בתכנון מעשי — למשל חיתוך אום או אריח משושה — האפותמה היא "מידת המפתח", המרחק בין שתי פאות נגדיות חלקי 2.
שאלות נפוצות
מה זה מצולע סדיר?
מצולע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו הפנימיות שוות. ריבוע הוא מצולע סדיר, מלבן שאינו ריבוע אינו מצולע סדיר.
מה סכום הזוויות הפנימיות?
(n − 2) × 180°. במשושה: 4 × 180 = 720°, ולכן כל זווית פנימית היא 120°. בכל מצולע סדיר הזווית הפנימית היא (n−2) × 180 ÷ n.
למה דווקא משושים בכוורת?
מבין הצורות שמרצפות מישור בלי רווחים — משולש, ריבוע ומשושה — למשושה יש ההיקף הקטן ביותר ביחס לשטח. כלומר נדרש פחות שעווה לאותו נפח תאים.
מה ההבדל בין רדיוס חוץ לאפותמה?
רדיוס חוץ נמדד מהמרכז אל קודקוד, אפותמה מהמרכז אל אמצע צלע. האפותמה קצרה יותר, והקשר הוא אפותמה = רדיוס חוץ כפול cos(π/n).
האם הנוסחה עובדת למצולע לא סדיר?
לא. במצולע לא סדיר מחשבים בדרך כלל בשיטת פירוק למשולשים, או בנוסחת השרוכים (Shoelace) לפי קואורדינטות הקודקודים.