המחשבון מחשב שורש בדרגה n: שורש ריבועי כברירת מחדל, אבל גם שורש שלישי, רביעי וכל דרגה אחרת.
השורש בדרגה n של x הוא המספר שבהעלאתו בחזקת n מתקבל x. שורש שלישי של 27 הוא 3, מפני ש-3³ = 27.
שורשים ומה מותר בהם
שורש בדרגה n נכתב גם כחזקה שברית: x^(1/n). לכן שורש ריבועי הוא x^0.5 ושורש שלישי הוא x^(1/3). זו גם הדרך שבה המחשבון מחשב אותו.
הכלל שקובע אם קיים פתרון ממשי הוא זוגיות הדרגה:
בדרגה אי־זוגית תמיד קיים שורש ממשי, גם למספר שלילי. שורש שלישי של −27 הוא −3, מפני ש-(−3)³ = −27. המחשבון מטפל בזה.
בדרגה זוגית אין שורש ממשי למספר שלילי. אין מספר ממשי שבריבועו ייתן −4, מפני שכל מספר בריבוע הוא אי־שלילי. במספרים מרוכבים הפתרון קיים והוא 2i.
הערה על הסימן: למספר חיובי יש בפועל שני שורשים ריבועיים — 2 ו-−2 שניהם בריבוע נותנים 4. לפי האמנה, סימן השורש מציין את הפתרון האי־שלילי, וזה מה שהמחשבון מחזיר.
דוגמאות
- שורש ריבועי של 144 = 12
- שורש שלישי של 27 = 3
- שורש שלישי של −27 = −3 — דרגה אי־זוגית, ולכן קיים
- שורש ריבועי של −4 = אין פתרון ממשי
- שורש רביעי של 16 = 2, כי 2⁴ = 16
שורשים מדויקים ומספרים אי־רציונליים
| המספר | שורש ריבועי | הערה |
|---|---|---|
| 4, 9, 16, 25 | 2, 3, 4, 5 | ריבועים מושלמים — תוצאה שלמה |
| 2 | 1.41421356... | אי־רציונלי |
| 3 | 1.73205081... | אי־רציונלי |
| 10 | 3.16227766... | אי־רציונלי |
שורש 2 הוא המספר האי־רציונלי הראשון שהוכח — אי אפשר לכתוב אותו כשבר של שני שלמים. ההוכחה, שמיוחסת לאסכולה הפיתגוראית, הייתה זעזוע לתפיסה שכל גודל ניתן לביטוי ביחס של שלמים.
המשמעות המעשית: שורש של מספר שאינו ריבוע מושלם הוא תמיד קירוב עשרוני. אלכסון של ריבוע בצלע 1 הוא בדיוק שורש 2, ולכן לא ניתן לכתוב אותו במדויק בעשרוני.
חוקי שורשים שימושיים
- שורש של מכפלה: √(a×b) = √a × √b. לכן √72 = √36 × √2 = 6√2.
- שורש של מנה: √(a÷b) = √a ÷ √b.
- שורש של חזקה: √(a²) = |a| — שימו לב לערך המוחלט, שנדרש כדי שהתוצאה תהיה אי־שלילית.
- לא קיים חוק לשורש של סכום: √(a+b) אינו שווה ל-√a + √b. זו טעות נפוצה — √(9+16) הוא 5, ולא 3+4 = 7.
כלל האחרון שווה הדגשה, מפני שהוא המקור לשגיאות רבות. בפיתגורס, למשל, ההיתר הוא √(a²+b²) ולא a+b — ולכן אלכסון מלבן תמיד קצר מסכום שתי צלעותיו. לחישוב פיתגורס יש באתר מחשבון נפרד, ולהעלאה בחזקה — מחשבון חזקות.
שאלות נפוצות
מה השורש הריבועי של 144?
12, מפני ש-12 בריבוע שווה 144. פורמלית ל-144 יש גם שורש של −12, אבל סימן השורש מציין את הפתרון האי־שלילי.
האם יש שורש למספר שלילי?
בדרגה אי־זוגית כן — שורש שלישי של −27 הוא −3. בדרגה זוגית אין שורש ממשי, כי כל מספר בחזקה זוגית הוא אי־שלילי.
איך מחשבים שורש בדרגה אחרת?
מעלים בחזקה שברית: שורש בדרגה n של x הוא x בחזקת 1 חלקי n. שורש רביעי של 16 הוא 16 בחזקת 0.25, כלומר 2.
האם שורש של סכום שווה לסכום השורשים?
לא, וזו טעות נפוצה. שורש של 9+16 הוא 5, ולא 3+4. חוקי הפירוק קיימים למכפלה ולמנה בלבד.
למה שורש 2 הוא מספר אי־רציונלי?
מפני שאי אפשר לכתוב אותו כשבר של שני מספרים שלמים — תכונה שהוכחה באסכולה הפיתגוראית. לכן הייצוג העשרוני שלו אינסופי ולא מחזורי.