המחשבון ממיר בין מעלות, רדיאנים, גרדיאנים וסיבוב מלא. היחסים הקבועים: סיבוב מלא שווה ל-360°, ל-2π רדיאנים ול-400 גרדיאנים.
ההמרה הנחוצה בפועל היא כמעט תמיד בין מעלות לרדיאנים, כי פונקציות טריגונומטריות בשפות תכנות מקבלות רדיאנים ולא מעלות.
איך ממירים בין יחידות זווית
מעלה היא 1/360 מסיבוב מלא. החלוקה ל-360 מקורה בבבל, והיא נוחה מפני ש-360 מתחלק ב-2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 ועוד — כך שזוויות שימושיות יוצאות מספרים שלמים.
רדיאן מוגדר גאומטרית: זו הזווית שבה אורך הקשת שווה לרדיוס. מכיוון שהיקף המעגל הוא 2πr, בסיבוב מלא יש בדיוק 2π רדיאנים, שהם כ-6.2832.
נוסחאות ההמרה: רדיאנים = מעלות × π ÷ 180, ומעלות = רדיאנים × 180 ÷ π. רדיאן אחד הוא כ-57.2958°.
גרדיאן (גראד) מחלק סיבוב מלא ל-400, כך שזווית ישרה היא 100 גראד. היחידה נוצרה בצרפת כחלק מהמעבר למערכת המטרית, ונותרה בשימוש בעיקר במדידות קרקע ובגאודזיה.
הסיבה שרדיאנים הם ברירת המחדל במתמטיקה: רק בהם הנגזרת של סינוס היא קוסינוס בלי מקדם נוסף, והקירוב sin(x) ≈ x לזוויות קטנות עובד. במעלות היו נדרשים מקדמי המרה בכל נוסחה.
המרות נפוצות
- 90° = π ÷ 2 = 1.5708 רדיאנים = 100 גראד
- 180° = π = 3.1416 רדיאנים = 200 גראד
- סיבוב מלא = 360° = 6.2832 רדיאנים = 400 גראד
- 1 רדיאן = 57.2958°
- 30° = π ÷ 6 = 0.5236 רדיאנים
טבלת המרה מלאה
| מעלות | רדיאנים | כביטוי | גראד |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | 0.5236 | π/6 | 33.33 |
| 45° | 0.7854 | π/4 | 50 |
| 60° | 1.0472 | π/3 | 66.67 |
| 90° | 1.5708 | π/2 | 100 |
| 180° | 3.1416 | π | 200 |
| 270° | 4.7124 | 3π/2 | 300 |
| 360° | 6.2832 | 2π | 400 |
דקות ושניות של קשת
במדידות מדויקות — ניווט, אסטרונומיה, מדידות קרקע — מעלה מחולקת הלאה:
- דקת קשת (arcminute, סימון ׳) היא 1/60 מעלה.
- שנית קשת (arcsecond, סימון ״) היא 1/60 דקה, כלומר 1/3600 מעלה.
כך נרשמות קואורדינטות גאוגרפיות: 32°04׳00״ צפון. להמרה למעלות עשרוניות מחברים את הדקות חלקי 60 ואת השניות חלקי 3,600 — במקרה הזה 32 + 4/60 = 32.0667°.
בניווט, דקת קשת של קו רוחב שווה בקירוב למייל ימי אחד (1,852 מטר). זו למעשה ההגדרה ההיסטורית של המייל הימי.
שאלות נפוצות
איך ממירים מעלות לרדיאנים?
מכפילים ב-π ומחלקים ב-180. למשל 90° כפול π חלקי 180 שווה π/2, כלומר כ-1.5708 רדיאנים.
כמה רדיאנים בסיבוב מלא?
2π רדיאנים, שהם כ-6.2832. זה נובע מכך שהיקף המעגל הוא 2πr ורדיאן מוגדר כקשת באורך רדיוס.
למה במתמטיקה משתמשים ברדיאנים?
כי רק בהם הנוסחאות יוצאות נקיות: הנגזרת של סינוס היא קוסינוס בלי מקדם, והקירוב sin(x) ≈ x לזוויות קטנות תקף. במעלות כל נוסחה הייתה דורשת מקדם המרה.
מה זה גרדיאן?
יחידה שמחלקת סיבוב מלא ל-400, כך שזווית ישרה היא 100 גראד. היא נוצרה בצרפת לצד המערכת המטרית ונותרה בשימוש בעיקר בגאודזיה ובמדידות קרקע.
איך ממירים מעלות, דקות ושניות למעלות עשרוניות?
מחברים את המעלות, את הדקות חלקי 60 ואת השניות חלקי 3,600. למשל 32°04׳00״ שווה 32.0667 מעלות.