לוגריתם עונה על השאלה "באיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר". המחשבון מחזיר את הלוגריתם בבסיס שתבחרו, ובמקביל גם בבסיס 10, בבסיס e ובבסיס 2.
log₂(1024) = 10, מפני ש-2 בחזקת 10 שווה 1,024. זה כל הרעיון.
מה זה לוגריתם ואיך מחשבים אותו
log_b(x) = y פירושו b^y = x. הלוגריתם הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה, בדיוק כמו שחיסור הופכי לחיבור.
שלושת הבסיסים הנפוצים: בסיס 10 (לוגריתם עשרוני, log), בסיס e שהוא כ-2.71828 (לוגריתם טבעי, ln) ובסיס 2 (נפוץ במדעי המחשב).
המחשבון מיישם את נוסחת שינוי הבסיס: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b). היא מאפשרת לחשב לוגריתם בכל בסיס מתוך לוגריתם טבעי, וזו הסיבה שאין צורך בפונקציה נפרדת לכל בסיס.
חוקי הלוגריתמים, וזו עיקר התועלת שלהם: log(a×b) = log(a) + log(b), log(a÷b) = log(a) − log(b), וlog(aⁿ) = n × log(a). הם הופכים כפל לחיבור וחזקה לכפל.
מגבלות: הלוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים. log של אפס או של מספר שלילי אינו קיים במספרים ממשיים. log_b(1) הוא תמיד 0, מפני שכל בסיס בחזקת 0 נותן 1.
דוגמאות
- log₂(1024) = 10, כי 2¹⁰ = 1,024
- log₁₀(1000) = 3, כי 10³ = 1,000
- ln(e) = 1, כי e¹ = e
- log₃(81) = 4, כי 3⁴ = 81
- בשינוי בסיס: log₃(81) = ln(81) ÷ ln(3) = 4.3944 ÷ 1.0986 = 4
למה סקאלות לוגריתמיות בכל מקום
כשהתופעה פורשת סדרי גודל רבים, סקאלה לינארית חסרת שימוש. הלוגריתם דוחס אותה:
| הסקאלה | הבסיס | משמעות יחידה אחת |
|---|---|---|
| דציבל (קול) | 10 | 10 dB = פי 10 בעוצמה |
| ריכטר (רעידות) | 10 | דרגה = פי כ-31.6 באנרגיה |
| pH (חומציות) | 10 | יחידה = פי 10 בריכוז |
| מגניטודה (כוכבים) | כ-2.512 | דרגה = פי כ-2.5 בבהירות |
| אוקטבה (מוזיקה) | 2 | אוקטבה = פי 2 בתדירות |
לכן רעידת אדמה בעוצמה 7 אינה "מעט יותר חזקה" מ-6 אלא פי כ-31.6 באנרגיה המשוחררת. ולכן גם pH 3 חומצי פי מאה מ-pH 5 — לכך יש באתר מחשבון pH.
לוגריתמים במדעי המחשב ובריבית
בסיס 2 מופיע בכל מקום בניתוח אלגוריתמים. log₂(n) הוא מספר הפעמים שאפשר לחצות n עד שמגיעים ל-1 — וזה בדיוק מה שחיפוש בינארי עושה:
- במערך של 1,000 איברים: כ-10 בדיקות (log₂(1000) ≈ 9.97)
- במערך של מיליון: כ-20 בדיקות
- במערך של מיליארד: כ-30 בדיקות
הגידול האטי הזה הוא מה שהופך אלגוריתמים לוגריתמיים ליעילים כל כך.
שימוש פיננסי: הלוגריתם עונה על "כמה זמן עד שיוכפל". בריבית שנתית r, מספר השנים להכפלה הוא ln(2) ÷ ln(1+r). ב-7% מתקבל כ-10.2 שנים — וזה בדיוק מה שכלל 72 מקרב: 72 חלקי 7 שווה כ-10.3. לחישוב יש באתר מחשבון ריבית דריבית.
שאלות נפוצות
מה זה לוגריתם?
החזקה שבה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר. log₂(1024) הוא 10, מפני ש-2 בחזקת 10 שווה 1,024.
מה ההבדל בין log ל-ln?
log הוא בדרך כלל לוגריתם בבסיס 10, ו-ln הוא לוגריתם טבעי בבסיס e, שהוא כ-2.71828. שניהם מוצגים במחשבון במקביל.
איך מחשבים לוגריתם בבסיס אחר?
בנוסחת שינוי הבסיס: log_b(x) שווה ל-ln(x) חלקי ln(b). כך log₃(81) שווה 4.3944 חלקי 1.0986, כלומר 4.
למה אין לוגריתם למספר שלילי?
מפני שאין חזקה ממשית של בסיס חיובי שתיתן תוצאה שלילית. במספרים מרוכבים הלוגריתם מוגדר גם שם, אבל לא במספרים ממשיים.
מה log של 1?
תמיד 0, בכל בסיס, מפני שכל מספר בחזקת אפס שווה 1.