המחשבון פותר ax² + bx + c = 0 בנוסחת השורשים, ומציג גם את הדיסקרימיננטה — המספר שקובע כמה פתרונות יש.
הדיסקרימיננטה היא Δ = b² − 4ac, ושלושת המקרים שלה מספרים את כל הסיפור: חיובית, אפס או שלילית.
נוסחת השורשים והדיסקרימיננטה
הפתרון של משוואה ריבועית הוא x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, כאשר Δ = b² − 4ac.
הדיסקרימיננטה קובעת את מספר הפתרונות:
Δ > 0 — שני פתרונות ממשיים שונים. הפרבולה חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות. Δ = 0 — פתרון ממשי אחד (כפול). הפרבולה משיקה לציר. Δ < 0 — אין פתרון ממשי. הפרבולה אינה נוגעת בציר כלל.
המחשבון מטפל גם במקרה שבו a שווה אפס. אז המשוואה אינה ריבועית אלא ליניארית, והפתרון הוא x = −c ÷ b. אם גם b אפס, אז או שכל x פותר (כשגם c אפס) או שאין פתרון.
שני קשרים שימושיים בין השורשים למקדמים, הנקראים נוסחאות וייטה: סכום השורשים = −b ÷ a ומכפלת השורשים = c ÷ a. הם דרך מהירה לבדוק תשובה.
דוגמה – x² − 5x + 6 = 0
- מקדמים a = 1, b = −5, c = 6
- דיסקרימיננטה: 25 − 24 = 1, חיובית — שני פתרונות
- פתרונות: (5 ± 1) ÷ 2 = 3 ו-2
- בדיקה בווייטה: סכום 3+2 = 5 = −b/a ✓, מכפלה 3×2 = 6 = c/a ✓
- לשם השוואה: x² + 2x + 5 נותן Δ = −16, ולכן אין פתרון ממשי
שלושת המקרים
| הדוגמה | Δ | פתרונות | הפרבולה |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 | 1 | x = 3, x = 2 | חותכת בשתי נקודות |
| x² − 4x + 4 | 0 | x = 2 (כפול) | משיקה לציר |
| x² + 2x + 5 | −16 | אין ממשי | אינה נוגעת בציר |
| 2x − 6 (a=0) | — | x = 3 | קו ישר |
כש-Δ שלילית קיימים שני פתרונות מרוכבים, בצורת x = (−b ± i√|Δ|) ÷ 2a. המחשבון עובד במספרים ממשיים ולכן מדווח שאין פתרון; בהקשר של מספרים מרוכבים הפתרונות קיימים.
השלמה לריבוע – מאיפה הנוסחה
נוסחת השורשים אינה שרירותית, והיא נובעת מהשלמה לריבוע. בקצרה, עבור ax² + bx + c = 0:
- מחלקים ב-a: x² + (b/a)x + c/a = 0
- מעבירים ומוסיפים (b/2a)² לשני הצדדים, כדי להשלים ריבוע
- מקבלים (x + b/2a)² = (b² − 4ac) ÷ 4a²
- מוציאים שורש ומבודדים את x — וזו בדיוק הנוסחה
מכאן גם ברור למה הדיסקרימיננטה היא שקובעת: היא הביטוי שמתחת לשורש, ושורש של מספר שלילי אינו קיים במספרים ממשיים.
שימוש נפוץ: קודקוד הפרבולה נמצא ב-x = −b ÷ 2a, שהוא בדיוק האמצע בין שני השורשים. זו הנקודה שבה הפונקציה מקבלת מינימום (כש-a חיובי) או מקסימום (כש-a שלילי) — ולכן המשוואה הריבועית היא הכלי הבסיסי בבעיות אופטימיזציה.
שאלות נפוצות
מה נוסחת השורשים?
x = (−b ± השורש של (b² − 4ac)) חלקי 2a. הביטוי שמתחת לשורש הוא הדיסקרימיננטה.
מה אומרת הדיסקרימיננטה?
חיובית — שני פתרונות ממשיים. אפס — פתרון אחד כפול. שלילית — אין פתרון ממשי, והפרבולה אינה חותכת את ציר ה-x.
מה קורה אם a שווה אפס?
המשוואה אינה ריבועית אלא ליניארית, והפתרון הוא x = −c חלקי b. אם גם b אפס, אז או שכל x פותר או שאין פתרון בכלל.
איך בודקים את הפתרונות במהירות?
בנוסחאות וייטה: סכום השורשים צריך להיות −b חלקי a, ומכפלתם c חלקי a. ב-x² − 5x + 6 הסכום 5 והמכפלה 6, ואכן הפתרונות 3 ו-2.
איפה נמצא קודקוד הפרבולה?
ב-x = −b חלקי 2a, שהוא האמצע בין שני השורשים. שם הפונקציה מקבלת מינימום אם a חיובי, או מקסימום אם a שלילי.