המחשבון מקבל שתי נקודות ומחזיר את שיפוע הקו, את נקודת החיתוך עם ציר ה-y, את המרחק בין הנקודות ואת נקודת האמצע.
השיפוע הוא ההפרש באנכי חלקי ההפרש באופקי: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
שיפוע, משוואת הקו ומרחק
שיפוע: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). הוא מתאר כמה הקו עולה על כל יחידה שמתקדמים ימינה.
מצאת את m, מתקבלת נקודת החיתוך: b = y₁ − m × x₁, ומשוואת הקו היא y = mx + b.
מרחק בין הנקודות מחושב בפיתגורס: √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). נקודת האמצע היא פשוט ממוצע הקואורדינטות: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
פרשנות השיפוע: חיובי — הקו עולה; שלילי — יורד; אפס — אופקי. אם x₁ שווה ל-x₂ הקו אנכי והשיפוע אינו מוגדר, כי המכנה מתאפס.
שני קשרים שימושיים: שני קווים מקבילים אם השיפועים שלהם שווים, ומאונכים אם מכפלת השיפועים היא −1. כלומר ניצב לקו בשיפוע 2 הוא קו בשיפוע −0.5.
דוגמה – הנקודות (2,3) ו-(6,11)
- שיפוע: (11 − 3) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2
- חיתוך עם y: 3 − 2×2 = −1, ולכן המשוואה היא y = 2x − 1
- מרחק: √(16 + 64) = √80 = 8.944
- נקודת אמצע: (4, 7)
- בדיקה: ב-x = 4 המשוואה נותנת 2×4−1 = 7 ✓ — האמצע אכן על הקו
שיפוע באחוזים ובמעלות
בהנדסה ובתמרורים השיפוע מצוין באחוזים, שהם פשוט השיפוע כפול 100. בגאומטריה הוא מתורגם לזווית בארקטנגנס:
| שיפוע m | באחוזים | בזווית | הקשר |
|---|---|---|---|
| 0 | 0% | 0° | אופקי |
| 0.05 | 5% | 2.9° | כביש בעלייה מתונה |
| 0.10 | 10% | 5.7° | עלייה תלולה בכביש |
| 0.577 | 57.7% | 30° | — |
| 1 | 100% | 45° | עלייה בזווית חצי ישרה |
| אינו מוגדר | — | 90° | אנכי |
שימו לב שתמרור "10%" אינו 10 מעלות אלא כ-5.7 בלבד. הבלבול הזה נפוץ, ומקורו בכך ששיפוע באחוזים הוא יחס ולא זווית. להמרת זוויות יש באתר מחשבון המרת זוויות.
שיפוע כקצב שינוי
מעבר לגאומטריה, השיפוע הוא קצב שינוי — וזה מה שהופך אותו לכלי מרכזי כל כך:
- בגרף מקום־זמן, השיפוע הוא מהירות.
- בגרף מהירות־זמן, הוא תאוצה.
- בגרף עלות־כמות, הוא העלות השולית.
- בחשבון דיפרנציאלי, הנגזרת היא השיפוע של המשיק — כלומר קצב השינוי הרגעי.
במובן הזה, השיפוע של קו ישר הוא המקרה הפשוט שבו קצב השינוי קבוע. ברגע שהוא אינו קבוע נדרשת נגזרת, אבל הרעיון — הפרש אנכי חלקי הפרש אופקי — נשאר בדיוק אותו רעיון.
שאלות נפוצות
איך מחשבים שיפוע משתי נקודות?
מחלקים את הפרש ערכי ה-y בהפרש ערכי ה-x. בין (2,3) ל-(6,11) השיפוע הוא 8 חלקי 4, כלומר 2.
מה המשמעות של שיפוע אפס או אינו מוגדר?
שיפוע אפס פירושו קו אופקי. שיפוע שאינו מוגדר פירושו קו אנכי, שבו הפרש ערכי ה-x הוא אפס והמכנה מתאפס.
איך מוצאים את משוואת הקו?
מחשבים את השיפוע m, ואז b = y − mx לכל נקודה על הקו. המשוואה היא y = mx + b.
מתי שני קווים מאונכים?
כשמכפלת השיפועים שלהם היא −1. הניצב לקו בשיפוע 2 הוא קו בשיפוע −0.5.
האם שיפוע של 10% הוא 10 מעלות?
לא. שיפוע של 10% הוא יחס של 0.1, שהוא כ-5.7 מעלות. שיפוע של 100% הוא שמקביל ל-45 מעלות.