סכום הזוויות בכל משולש הוא 180°, ולכן שתי זוויות קובעות את השלישית. המחשבון משלים את הזווית החסרה ומסווג את סוג המשולש.
הסיווג נגזר מהזווית הגדולה: עד 90° המשולש חד־זווית, בדיוק 90° ישר־זווית, ומעל 90° קהה־זווית.
סכום הזוויות וסיווג המשולש
הזווית השלישית = 180 − הזווית הראשונה − הזווית השנייה. זה כל החישוב, והוא נשען על תכונה שנכונה בכל משולש במישור.
למה 180? אם מעבירים דרך קודקוד אחד קו מקביל לצלע הנגדית, שלוש הזוויות של המשולש מתלכדות לזווית שטוחה על אותו קו — ולכן סכומן 180°.
הסיווג לפי זוויות: חד־זווית — כל הזוויות קטנות מ-90°. ישר־זווית — זווית אחת היא 90° בדיוק. קהה־זווית — זווית אחת גדולה מ-90°.
מכאן נובע שלמשולש יכולה להיות לכל היותר זווית אחת שאינה חדה. שתי זוויות של 90° היו מסתכמות ב-180 ולא היו משאירות מקום לשלישית.
תוצאה מעשית: אם שתי הזוויות שהוזנו מסתכמות ב-180 או יותר, אין משולש כזה. בדיקה כזו שימושית לפני שממשיכים לחישוב שטח או צלעות.
דוגמאות
- זוויות 60° ו-80° → השלישית 40°, משולש חד־זווית
- זוויות 90° ו-45° → השלישית 45°, משולש ישר־זווית ושווה־שוקיים
- זוויות 120° ו-30° → השלישית 30°, משולש קהה־זווית
- זוויות 60° ו-60° → השלישית 60°, משולש שווה־צלעות
- זוויות 100° ו-90° → סכום 190, גדול מ-180 — אין משולש כזה
סוגי משולשים – זוויות וצלעות
| לפי זוויות | התנאי | מה גם נכון על הצלעות |
|---|---|---|
| חד־זווית | כולן מתחת ל-90° | a² + b² > c² לכל סידור |
| ישר־זווית | אחת בדיוק 90° | a² + b² = c² (פיתגורס) |
| קהה־זווית | אחת מעל 90° | a² + b² < c² בצלע הארוכה |
| שווה־צלעות | שלושתן 60° | שלוש הצלעות שוות |
| שווה־שוקיים | שתיים שוות | שתי צלעות שוות |
הקשר בין הזוויות לצלעות: מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הארוכה. במשולש שווה־שוקיים, הזוויות שמול שתי הצלעות השוות שוות גם הן.
מתי הסכום אינו 180
סכום של 180° נכון בגאומטריה אוקלידית, כלומר במישור שטוח. על משטחים מעוקלים הכלל נשבר:
- על ספירה סכום הזוויות גדול מ-180°. משולש שקודקודו בקוטב ושתי צלעותיו יורדות לקו המשווה מכיל שלוש זוויות של 90° — סכום של 270°.
- על משטח היפרבולי הסכום קטן מ-180°.
העודף מעל 180 נקרא "עודף ספירי" והוא פרופורציוני לשטח המשולש, ולכן גאומטריה ספירית היא הבסיס לניווט ולמדידות על פני כדור הארץ.
לשימושים יומיומיים — שרטוט, בנייה, עבודה על נייר — המישור השטוח הוא הנחה מדויקת לחלוטין, ו-180 תקף. לחישוב שטח משולש משלוש צלעות יש באתר מחשבון משולש.
שאלות נפוצות
מה סכום הזוויות במשולש?
180 מעלות, בכל משולש במישור. לכן שתי זוויות קובעות את השלישית.
איך מסווגים משולש לפי זוויות?
חד־זווית אם כל הזוויות מתחת ל-90°, ישר־זווית אם אחת היא 90° בדיוק, וקהה־זווית אם אחת גדולה מ-90°.
יכולות להיות שתי זוויות ישרות במשולש?
לא. שתי זוויות של 90° מסתכמות ב-180 ולא נותרות מעלות לזווית השלישית.
מה הקשר בין הזוויות לצלעות?
מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הארוכה. במשולש שווה־שוקיים, הזוויות שמול הצלעות השוות שוות גם הן.
האם הסכום הוא תמיד 180?
במישור כן. על ספירה הסכום גדול מ-180 — משולש בין קוטב לקו המשווה יכול להכיל שלוש זוויות של 90° — ועל משטח היפרבולי הוא קטן מ-180.