המחשבון מקבל שני וקטורים דו־ממדיים ומחזיר את האורך (נורמה) של כל אחד, את המכפלה הסקלרית ואת הזווית ביניהם.
המכפלה הסקלרית היא הכלי המרכזי כאן, והיא עונה על שאלה אחת: עד כמה שני הווקטורים מצביעים לאותו כיוון.
נורמה, מכפלה סקלרית וזווית
נורמה (אורך): |v| = √(x² + y²). זהו פיתגורס — אורך החץ מהראשית אל הנקודה.
מכפלה סקלרית: a·b = x₁x₂ + y₁y₂. התוצאה היא מספר, לא וקטור, ומכאן השם.
הזווית נגזרת מהקשר cos θ = (a·b) ÷ (|a| × |b|). המחשבון מחשב את הארקוסינוס ומחזיר את הזווית במעלות.
סימן המכפלה הסקלרית מספר את הסיפור: חיובית — הזווית חדה, הווקטורים מצביעים בכיוון דומה. אפס — הם מאונכים בדיוק. שלילית — הזווית קהה, הכיוונים מנוגדים.
בדיקת אנכיות היא לכן מיידית: אם x₁x₂ + y₁y₂ שווה אפס, הווקטורים מאונכים. כך (3,4) ו-(−4,3) מאונכים, מפני ש-−12+12 = 0.
דוגמה – הווקטורים (3,4) ו-(1,2)
- נורמת הראשון: √(9+16) = 5
- נורמת השני: √(1+4) = 2.236
- מכפלה סקלרית: 3×1 + 4×2 = 11
- הזווית: arccos(11 ÷ 11.18) = 10.3°
- המכפלה חיובית והזווית קטנה — הווקטורים כמעט באותו כיוון
מה הסימן מספר
| הווקטורים | מכפלה סקלרית | הזווית | הפירוש |
|---|---|---|---|
| (1,0) ו-(1,0) | 1 | 0° | אותו כיוון בדיוק |
| (3,4) ו-(1,2) | 11 | 10.3° | כיוון דומה |
| (3,4) ו-(−4,3) | 0 | 90° | מאונכים |
| (1,0) ו-(−1,1) | −1 | 135° | כיוון מנוגד |
| (1,0) ו-(−1,0) | −1 | 180° | הפוך בדיוק |
הערה חשובה: הסימן תלוי בזווית בלבד, אבל גודל המכפלה תלוי גם באורכי הווקטורים. לכן אי אפשר להשוות מכפלות סקלריות של זוגות שונים בלי לנרמל — וזו הסיבה שהנוסחה לזווית מחלקת בשתי הנורמות.
איפה מכפלה סקלרית שימושית
- עבודה בפיזיקה. העבודה שכוח מבצע היא המכפלה הסקלרית של הכוח ובהעתק: W = F·d. כוח שמאונך לתנועה אינו מבצע עבודה כלל — ולכן נשיאת מזוודה במסלול אופקי אינה "עבודה" במובן הפיזיקלי.
- היטל. המכפלה הסקלרית מודדת כמה מווקטור אחד "נופל" על כיוון השני, וזו הבסיס לפירוק כוחות למרכיבים.
- דמיון בין טקסטים. בעיבוד שפה, מסמכים מיוצגים כווקטורים ודמיון ביניהם נמדד בקוסינוס הזווית — בדיוק אותה נוסחה.
- תאורה בגרפיקה. עוצמת האור על משטח מחושבת ממכפלה סקלרית בין כיוון האור לנורמל של המשטח.
הערה על סוג אחר של מכפלה: קיימת גם מכפלה וקטורית, שתוצאתה וקטור ולא מספר, והיא מוגדרת בשלושה ממדים. המחשבון עובד בשני ממדים ובמכפלה הסקלרית. להמרת זוויות יש באתר מחשבון המרת זוויות.
שאלות נפוצות
איך מחשבים אורך של וקטור?
בשורש של סכום ריבועי הרכיבים. אורך הווקטור (3,4) הוא השורש של 9+16, כלומר 5.
מה זו מכפלה סקלרית?
סכום מכפלות הרכיבים המתאימים: x₁x₂ + y₁y₂. התוצאה היא מספר ולא וקטור, והיא מודדת עד כמה הווקטורים מצביעים לאותו כיוון.
איך יודעים ששני וקטורים מאונכים?
אם המכפלה הסקלרית שלהם אפס. (3,4) ו-(−4,3) מאונכים, כי −12+12 שווה אפס.
איך מחשבים את הזווית בין וקטורים?
הקוסינוס של הזווית הוא המכפלה הסקלרית חלקי מכפלת הנורמות. לוקחים ארקוסינוס ומקבלים את הזווית.
מה המשמעות של מכפלה סקלרית שלילית?
שהזווית בין הווקטורים קהה, כלומר גדולה מ-90°, והם מצביעים בכיוונים מנוגדים בחלקם.